Question

（本小題滿分14分）已知函數(shù).

（1）若對都成立，求的取值范圍；

（2）已知為自然對數(shù)的底數(shù)，證明：N，.

Answer 1

（1）；（2）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）先求函數(shù)的定義域，再對函數(shù)求導(dǎo)，進(jìn)而對的取值范圍討論確定函數(shù)在上的單調(diào)性，即可得的取值范圍；（2）先結(jié)合（1），可知當(dāng)時(shí)，對都成立，進(jìn)而可證，化簡，即可證，再結(jié)合（1），可知當(dāng)時(shí)，對都成立，進(jìn)而可證，化簡，即可證.

試題解析：（1）【解析】
∵，其定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015071706040079543907/SYS201507170604059519728381_DA/SYS201507170604059519728381_DA.019.png">,

∴. 1分

① 當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

則在區(qū)間上單調(diào)遞減，此時(shí)，，不符合題意. 2分

② 當(dāng)時(shí)，令，得，，

當(dāng)時(shí)，，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，

此時(shí)，，不符合題意. 3分

③ 當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

則在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時(shí)，，符合題意. 4分

④ 當(dāng)時(shí)，令，得，，當(dāng)時(shí)，，

則在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時(shí)，，符合題意. 5分

綜上所述，的取值范圍為. 6分

（2）證明：由（1）可知，當(dāng)時(shí)，對都成立，

即對都成立. 7分

∴. 8分

即.

由于N，則. 9分

∴.

∴ . 10分

由（1）可知，當(dāng)時(shí)，對都成立，

即對都成立. 11分

∴. 12分

即.

得

由于N，則. 13分

∴.

∴ . 14分

∴.

考點(diǎn)：1、用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；2、參數(shù)的取值范圍；3、用導(dǎo)數(shù)證明不等式；4、放縮法.

考點(diǎn)分析： 考點(diǎn)1：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 試題屬性

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