Question

【題目】已知函數(shù)在區(qū)間上有最大值和最小值，設(shè)．

（1）求，的值；

（2）若不等式在上有解，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若有三個不同的實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）.

【解析】

（1）由函數(shù)，所以在區(qū)間上是增函數(shù)，故，，由此解得，的值；

（2）由（1）可知，所以令，不等式可化為，，求出的最大值，從而求得取值范圍；

（3）令，則原方程有三個不同的實數(shù)解轉(zhuǎn)化為有兩個不同的實數(shù)解，，其中或，，然后運用“三個二次”即：二次函數(shù)、二次不等式、二次方程之間的關(guān)系列出式子求解得答案．

（1）函數(shù)

因為，所以在區(qū)間上是增函數(shù)，故 ，解得，；

（2）由已知可得，所以令，不等式可化為，因，故，故在上能成立，

記，因為 ，故，

所以的取值范圍是；

（3）令 ()，圖象如下：

則方程變?yōu)椋?/span>，

化簡得：，

設(shè)方程有兩個不同的實數(shù)解，，

其中或，，記，

則有： ①或 ②，

解①得，；②無解，

實數(shù)的取值范圍為.