Question

（2012•寧德模擬）已知曲線f（x）=ax+blnx-1在點（1，f（1））處的切線為直線y=0．
（1）求實數a，b的值；
（2）設函數g(x)=

x2

2

-mx+mf(x)，其中m為常數．
（i）求g（x）的單調遞增區(qū)間；
（ii）求證：當1＜m＜3，x∈（1，e）（其中e=2.71828…）時，總有-

3

2

(1+ln3)＜g(x)＜

e2

2

-2成立．

Answer 1

分析：（1）求導函數，利用切線的斜率為0，可得f'（1）=0，又f（1）=0，即可求實數a，b的值；
（2）（i）求導函數，當m≤0時，g′（x）＞0；當m＞0時，由g′（x）＞0，可得g（x）的單調遞增區(qū)間；
（ii）當1＜m＜3，函數在（1，

m

）上單調減，在（

m

，e）上單調增，從而可得函數的最小值，構建函數h（m）=g（

m

）=-

m

2

-

m

2

lnm，求導函數，確定函數的單調性，即可證得結論．

解答：（1）解：求導函數，可得f'（x）=a+

b

x

由已知得切線的斜率為0，從而f'（1）=0，所以a+b=0
又f（1）=a-1=0，所以a=1，b=-1．
（2）g(x)=

x2

2

-mx+mf(x)=

x2

2

-mlnx-m，∴g′（x）=x-

m

x

（i）解：當m≤0時，∵x＞0，∴g′（x）＞0，∴g（x）的單調遞增區(qū)間是（0，+∞）；
當m＞0時，由g′（x）＞0，得x＞

m

或x＜-

m

（舍去）
∴g（x）的單調遞增區(qū)間是（

m

，+∞）；
（ii）證明：當1＜m＜3，函數在（1，

m

）上單調減，在（

m

，e）上單調增
∴g（x）_min=g（

m

）=-

m

2

-

m

2

lnm
∴g（

m

）≤g（x）＜max{g（1），g（e）}
設h（m）=g（

m

）=-

m

2

-

m

2

lnm，∴h′（m）=-1-

1

2

lnm
∵1＜m＜3，∴l(xiāng)nm＞0，∴h′（x）＜0
∴h（x）在（1，3）上單調遞減
∴h（m）＞h（3）=-

3

2

-

3

2

ln3
∴1＜m＜3，x∈（1，e）（其中e=2.71828…）時，g（x）＞-

3

2

-

3

2

ln3
∵1＜m＜3，∴g（e）=

e2

2

-2m＜

e2

2

-2，g（1）=-

1

2

＜

e2

2

-2
∴1＜m＜3，x∈（1，e）（其中e=2.71828…）時，g（x）＜

e2

2

-2
∴當1＜m＜3，x∈（1，e）（其中e=2.71828…）時，總有-

3

2

(1+ln3)＜g(x)＜

e2

2

-2成立．

點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查函數的單調性，考查不等式的證明，正確求導，構建函數是關鍵．