Question

8．設(shè)函數(shù)$f（x）=ln（1+|x|）-\frac{1}{{1+{x^2}}}$則使f（2x）＞f（x-1）成立的x范圍為（　　）

• A． $（-∞，-1）∪（\frac{1}{3}，+∞）$
• B． $（-1，\frac{1}{3}）$
• C． $（-∞，\frac{1}{3}）∪（1，+∞）$
• D． $（\frac{1}{3}，1）$

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式可知函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，判斷函數(shù)在x大于零的單調(diào)性為遞增，根據(jù)偶函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可知，距離原點(diǎn)越遠(yuǎn)的點(diǎn)，函數(shù)值越大，可得|2x|＞|x-1|，解絕對(duì)值不等式即可．

解答 解：函數(shù)$f（x）=ln（1+|x|）-\frac{1}{{1+{x^2}}}$，定義域?yàn)镽，
∵f（-x）=f（x），
∴函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，
當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)$f（x）=ln（1+|x|）-\frac{1}{{1+{x^2}}}$單調(diào)遞增，
根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)可知：得f（2x）＞f（x-1）成立，
∴|2x|＞|x-1|，
∴4x²＞（x-1）²，∴（3x-1）（x+1）＞0
∴x的范圍為$（-∞，-1）∪（\frac{1}{3}，+∞）$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 考查了偶函數(shù)的性質(zhì)和利用偶函數(shù)圖象的特點(diǎn)解決實(shí)際問題，屬于基礎(chǔ)題型，應(yīng)牢記．