Question

函數(shù)f（x）=

2x-a

2x+1

（a∈R）是奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）證明：y=f（x）在[0，+∞）上是增加的．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解答即可．

解答： 解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=

2x-a

2x+1

（a∈R）是奇函數(shù)，
所以f（-x）+f（x）=0，即

2-x-a

2-x+1

+

2x-a

2x+1

=0，
解得：a=1，
（2）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=

2x-1

2x+1

．
任取x₁，x₂∈[0，+∞），且x₁＜x₂，
則f（x1）-f（x2）=

2x1-1

2x1+1

-

2x2-1

2x2+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵x₁，x₂∈（-1，+∞），且x₁＜x₂，
∴f（x₁）＜（f（x₂），
∴y=f（x）在[0，+∞）上是增加的

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．