Question

【題目】對于定義域為D的函數(shù)，如果存在區(qū)間，同時滿足：①在內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②當定義域是時，的值域也是，則稱是該函數(shù)的“優(yōu)美區(qū)間”.

（1）求證：是函數(shù)的一個“優(yōu)美區(qū)間”.

（2）求證：函數(shù)不存在“優(yōu)美區(qū)間”.

（3）已知函數(shù)（）有“優(yōu)美區(qū)間”，當a變化時，求出的最大值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）結(jié)合“優(yōu)美區(qū)間”的定義,可證明結(jié)論;

（2）若函數(shù)存在“優(yōu)美區(qū)間”,可得函數(shù)在上單調(diào)遞減,從而可得,聯(lián)立可推出矛盾,即可證明結(jié)論;

（3）函數(shù)有“優(yōu)美區(qū)間”,結(jié)合單調(diào)性可得,聯(lián)立可求得的關系,進而可求得的最大值.

（1）在區(qū)間上單調(diào)遞增,

又,,∴的值域為,

∴區(qū)間是的一個“優(yōu)美區(qū)間”.

（2）設是已知函數(shù)的定義域的子集.

由,可得或,

∴函數(shù)在上單調(diào)遞減.

若是已知函數(shù)的“優(yōu)美區(qū)間”,則,

兩式相減得,,則,

,

則,顯然等式不成立,

∴函數(shù)不存在“優(yōu)美區(qū)間”.

（3）設是已知函數(shù)定義域的子集.

由,則或,

而函數(shù)在上單調(diào)遞增.

若是已知函數(shù)的“優(yōu)美區(qū)間”,則,

∴是方程，即的兩個同號且不等的實數(shù)根.

,∴同號,只須,

解得或,

,

∴當時,取得最大值.