Question

如圖，在四棱錐E-ABCD中，四邊形ABCD為矩形，BE=BC，AE⊥BE，M為CE上一點(diǎn)，且BM⊥平面ACE．
（Ⅰ）求證：AE⊥BC；
（Ⅱ）若點(diǎn)N為線段AB的中點(diǎn)，求證：MN∥平面ADE；
（Ⅲ）若AB=2BC，求直線AC與平面BCE所成的角．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）根據(jù)已知條件容易證明AE⊥平面BCE，所以得到AE⊥BC；
（Ⅱ）根據(jù)已知條件容易判斷出M是CE中點(diǎn)，取CD中點(diǎn)F，并連接MF，NF，則容易說明平面MNF∥平面ADE，MN?平面MNF，所以得到MN∥平面ADE；
（Ⅲ）容易判斷∠ACE是直線AC與平面BCE所成角，可設(shè)BC=1，則根據(jù)已知的邊的關(guān)系可求出AE，AC，所以在Rt△ACE中可求sin∠ACE，從而求出∠ACE．

解答： 解：（Ⅰ）∵BM⊥平面ACE，AE?平面ACE，∴BM⊥AE，即AE⊥BM；
又AE⊥BE，BE∩BM=B；
∴AE⊥平面BCE，BC?平面BCE，∴AE⊥BC；
（Ⅱ）取CD中點(diǎn)F，連接MF，NF；
BM⊥平面ACE，CE?平面ACE，∴BM⊥CE，又BE=BC；
∴M是CE的中點(diǎn)；
∴MF∥DE，DE?平面ADE，MF?平面ADE；
∴MF∥平面ADE，同理，NF∥平面ADE，MF∩NF=F；
∴平面MFN∥平面ADE，MN?平面MFN；
∴MN∥平面ADE；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知AE⊥平面BCE，∴∠ACE是直線AC和平面BCE所成的角；
設(shè)BC=1，則AB=2，AB⊥BC，∴AC=

5

；
AE⊥BE，BE=1；
∴AE=

3

；
∴在Rt△ACE中，sin∠ACE=

AE

AC

=

3

5

=

15

5

；
∴∠ACE=acsin

15

5

．

點(diǎn)評(píng)：考查線面垂直的性質(zhì)，線面垂直的判定定理，中位線的性質(zhì)，線面平行的判定定理，以及面面平行的判定定理．