Question

在△ABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量

m

=(a，b)，

n

=(b，c)．
（Ⅰ）若向量

m

∥

n

求滿足

3

sinB+cosB-

3

=0的角B的值；
（Ⅱ）若A-C=

π

3

，試用角B表示角A與C；
（Ⅲ）若

m

•

n

=2b2，且A-C=

π

3

，求cosB的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)所給的向量的坐標(biāo)和向量的平行關(guān)系，寫出三條邊的關(guān)系，代入角B的余弦定理，利用均值不等式表示出角B的余弦的取值范圍，根據(jù)

3

sinB+cosB-

3

=0求角B的值．
（Ⅱ）根據(jù)角A與角B的差是

π

3

，還有兩角之和是π-B，得到角A和角B的關(guān)系，即得到關(guān)于他們的二元一次方程，解方程組得到結(jié)果．本題只起到一個鋪墊作用．
（Ⅲ）根據(jù)兩個向量的數(shù)量積的值，得到邊之間的關(guān)系，a+c=2b，利用正弦定理把變化為角和第二問所得的結(jié)論，展開整理，得到關(guān)于角B的三角函數(shù)值．

解答：解：（Ⅰ）∵

m

=(a，b)，

n

=(b，c)，

m

∥

n

，
∴b²=ac，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)a=c時取等號，
∵0＜B＜π，∴0＜B≤

π

3

．
由

3

sinB+cosB-

3

=0
得：sin(B+

π

6

)=

3

2

，
∵B+

π

6

∈(

π

6

，

π

2

]，
∴B+

π

6

=

π

3

，∴B=

π

6

．
（Ⅱ）在△ABC中，∵A-C=

π

3

，A+C=π-B，∴A=

2π

3

-

B

2

，C=

π

3

-

B

2

（Ⅲ）∵

m

•

n

=2b2，
∴a+c=2b，
∴sinA+sinC=2sinB，
由A-C=

π

3

及（Ⅱ）的結(jié)論得：
∴sin(

2π

3

-

B

2

)+sin(

π

3

-

B

2

)=2sinB，
展開化簡，得

3

cos

B

2

=2×2sin

B

2

cos

B

2

，
∵cos

B

2

≠0，∴sin

B

2

=

3

4

，
∴cosB=1-2sin2

B

2

=1-

3

8

=

5

8

．

點評：本題考查平面向量數(shù)量積的運算，正弦定理和余弦定理，同角的三角函數(shù)關(guān)系，是一個綜合題，也是近幾年經(jīng)常出現(xiàn)的一種問題．