Question

8．如圖，三棱錐P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠BCA=90°，且BC=CA=2，PC=PA．
（1）求證：PA⊥BC；
（2）當(dāng)PC的值為多少時，滿足PA⊥平面PBC？并求出此時該三棱錐P-ABC的體積．

Answer 1

分析 （1）由已知可得BC⊥AC，再由平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，且BC?平面ABC，得到BC⊥平面PAC，從而證得結(jié)論PA⊥BC；
（2）由（1）知PA⊥BC，只需PA⊥PC，就有PA⊥平面PBC，結(jié)合已知條件求出PC，進一步求出三棱錐P-ABC的體積．

解答 （1）證明：∵∠BCA=90°，∴BC⊥AC．
∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，且BC?平面ABC，
∴BC⊥平面PAC．
又PA?平面PAC．
∴PA⊥BC；
（2）解：由（1）知PA⊥BC，
故只需PA⊥PC，就有PA⊥平面PBC，
∵PC=PA，AC=2，
∴PC=$\sqrt{2}$．
此時，${V}_{P-ABC}=\frac{1}{3}•{S}_{△PBC}•AP$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{2}×\sqrt{2}=\frac{2}{3}$．

點評 本題考查直線與平面垂直，幾何體的體積的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及邏輯推理能力，是中檔題．