Question

已知定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x-1）=f（x+1），當0≤x≤1時，f（x）=x²，如果函數(shù)g（x）=f（x）-（x+m）有兩個零點，則實數(shù)m的值為（　�。�

• A、2k（k∈Z）
• B、2k-

  1

  4

  （k∈Z）
• C、2K或2K+

  1

  4

• D、2K或2K-

  1

  4

  （k∈Z）

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應用,函數(shù)零點的判定定理

專題：計算題,數(shù)形結合,函數(shù)的性質及應用

分析：求出f（x）是以2為最小正周期的函數(shù)，由函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，當0≤x≤1時，f（x）=x²，則當-1≤x≤0時，f（x）=x²，作出函數(shù)y=f（x）和y=x+m的圖象，通過圖象觀察，發(fā)現(xiàn)m為偶數(shù)時，圖象有兩個交點，當直線y=x+m與曲線相切，有兩個零點，即可求出m的值．

解答： 解：f（x）滿足f（x-1）=f（x+1），
則f（x+2）=f（x），
即有f（x）是以2為最小正周期的函數(shù)，
函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，當0≤x≤1時，f（x）=x²，
則當-1≤x≤0時，f（x）=x²，
函數(shù)g（x）=f（x）-（x+m）的零點，即
方程g（x）=0的實根．
作出函數(shù)y=f（x）和y=x+m的圖象，
通過圖象觀察，發(fā)現(xiàn)m為偶數(shù)時，圖象有兩個交點，
當直線y=x+m與曲線相切，有兩個零點，
考慮0≤x≤1，設切點為（s，t），則由y′=2x，即有2s=1，解得s=

1

2

，切點為（

1

2

，

1

4

），
則m=

1

4

-

1

2

=-

1

4

，由f（x）可得當m=2k-

1

4

時，都有兩個交點．
故m=2k或2k-

1

4

（k為整數(shù)），
故選D．

點評：本題考查函數(shù)的性質和運用，考查函數(shù)的奇偶性、周期性及應用，考查數(shù)形結合的思想方法，屬于中檔題．