Question

若對于定義在R上的連續(xù)函數f（x），存在常數a（a∈R），使得f（x+a）+af（x）=0對任意的實數x成立，則稱f（x）是回旋函數，且階數為a．
（Ⅰ）試判斷函數f（x）=x²是否是一個回旋函數；
（Ⅱ）已知f（x）=sinωx是回旋函數，求實數ω的值；
（Ⅲ）若對任意一個階數為a的回旋函數f（x），方程f（x）=0均有實數根，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）若（x+a）²+ax²=0對任意實數都成立，令x=0，則必須有a=0
令x=1，則有a²+3a+1=0，顯然a=0不是這個方程的解故假設不成立，該函數不是回旋函數．
（Ⅱ）由于f（x）=sinwx是回旋函數，故有：sinw（x+a）+asinwx=0對任意實數x成立
令x=0，可得sinwa=0，令x=，可得coswa=-a，故a=±1，w=kπ（k為整數）
（Ⅲ）如果a=0，顯然f（x）=0，則顯然有實根．
下面考慮a≠0的情況．
若存在實根x₀，則f（x₀+a）+af（x₀）=0，即f（x₀+a）=0說明實根如果存在，那么加a也是實根．因此在區(qū)間（0，a）上必有一個實根．則：f（0）f（a）＜0
由于f（0+a）+af（0）=0，則f（0）=，只要a＞0，即可保證f（0）和f（a）異號．
綜上a≥0
分析：（Ⅰ）利用回旋函數的定義，令x=0，則必須有a=0；令x=1，則有a²+3a+1=0，故可判斷；
（Ⅱ）由于f（x）=sinwx是回旋函數，故有：sinw（x+a）+asinwx=0對任意實數x成立，從而可求實數ω的值；
（Ⅲ）分類討論是關鍵．a=0時結論顯然；當a≠0時先假設存在，利用回旋函數的定義，易得在區(qū)間（0，a）上必有一個實根．
點評：本題是新定義題，關鍵是理解新定義，利用新定義時，應注意賦值法的運用