Question

17．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=a₂=1，a_n+a_n+1+a_n+2=cos$\frac{2nπ}{3}$（n∈N*），數(shù)列前n項和為S_n，則S₂₀₁₆=-336．

Answer 1

分析 由a_n+a_n+1+a_n+2=cos$\frac{2nπ}{3}$（n∈N^*），可求得a₂₀₁₆+a₂₀₁₅+a₂₀₁₄=a₂₀₁₃+a₂₀₁₂+a₂₀₁₁═…=a₃+a₂+a₁=-$\frac{1}{2}$，即可求得S₂₀₁₆的值．

解答 解：∵2016=672×3
∴a₂₀₁₄+a₂₀₁₅+a₂₀₁₆=cos（2014×$\frac{2π}{3}$）=cos（1342π×$\frac{2π}{3}$）=cos$\frac{2}{3}$π=-$\frac{1}{2}$，
同理：a₂₀₁₁+a₂₀₁₂+a₂₀₁₃═cos（2011×$\frac{2π}{3}$）=cos（134π+$\frac{2}{3}$π=-$\frac{1}{2}$，
…
a₁+a₂+a₃=cos$\frac{2}{3}$π=-$\frac{1}{2}$，
∴S₂₀₁₆=（a₂₀₁₆+a₂₀₁₅+a₂₀₁₄）+（a₂₀₁₃+a₂₀₁₂+a₂₀₁₁）+…+（a₃+a₂+a₁）
=672×（-$\frac{1}{2}$）
=-336；
故答案為：-336．

點評 本題考查數(shù)列的求和，求得a₂₀₁₆+a₂₀₁₅+a₂₀₁₄=a₂₀₁₃+a₂₀₁₂+a₂₀₁₁═…=a₃+a₂+a₁=-$\frac{1}{2}$是關(guān)鍵，考查整體思想與運算求解能力，屬于中檔題．