Question

如圖，在三棱柱ABC­A₁B₁C₁中，AA₁C₁C是邊長(zhǎng)為4的正方形．平面ABC⊥平面AA₁C₁C，AB＝3，BC＝5.

(1)求證：AA₁⊥平面ABC；

(2)求二面角A₁­BC₁­B₁的余弦值；

Answer 1

(1)證明　在正方形AA₁C₁C中，A₁A⊥AC.

又平面ABC⊥平面AA₁C₁C，且

平面ABC∩平面AA₁C₁C＝AC，

∴AA₁⊥平面ABC.

(2)解：由(1)知AA₁⊥AC，AA₁⊥AB，由題意知，

在△ABC中，AC＝4，AB＝3，BC＝5，

∴BC²＝AC²＋AB²，

∴AB⊥AC.

∴以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系A－xyz.

A₁(0,0,4)，B(0,3,0)，C₁(4,0,4)，B₁(0,3,4)，于是

＝(4,0,0)，＝(0,3，－4)，＝(4，－3,0)，＝(0,0,4)．

設(shè)平面A₁BC₁的法向量n₁＝(x₁，y₁，z₁)，

平面B₁BC₁的法向量n₂＝(x₂，y₂，z₂)．

22. 解：　(1)∵2a＝4，∴a＝2，       又M在橢圓上，

∴＋＝1，解得b²＝2，∴所求橢圓方程＋＝1.

(2)由題意知k_MO＝，∴k_AB＝－.

設(shè)直線AB的方程為y＝－x＋m，

聯(lián)立方程組

消去y，得13x²－4mx＋2m²－4＝0，

Δ＝(－4m)²－4×13×(2m²－4)＝8(12m²－13m²＋26)＞0，

∴m²＜26，設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

由根與系數(shù)的關(guān)系得x₁＋x₂＝，x₁x₂＝，

則O·O＝x₁x₂＋y₁y₂＝7x₁x₂－m(x₁＋x₂)＋m²

＝∈.

∴O·O的取值范圍是.