Question

函數(shù)f（x）=（lgx）²-2alg（10x）+a²（1≤x≤10）的最小值為g（a），求g（a）的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次函數(shù)，討論對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：令t=lgx，∵1≤x≤10，
∴t∈[0，1]，
∵f（x）=（lgx）²-2alg（10x）+a²=（lgx）²-2a-2algx+a²，
∴函數(shù)等價(jià)為y=t²-2at+a²-2a，對(duì)稱軸為直線t=a，
（1）若a≤0時(shí)，y=t²-2at+a²-2a在[0，1]內(nèi)遞增，
當(dāng)t=0時(shí)，函數(shù)取得最小值，此時(shí)最小值為g（a）=a²-2a．
（2）若0＜a＜1，即時(shí)．
當(dāng)t=a，函數(shù)取得最小值g（a）=a²-2a²+a²-2a=-2a，
（3）若a≥1，y=t²-2at+a²-2a在[0，1]內(nèi)遞減，
當(dāng)t=1，函數(shù)取得最小值g（a）=1-2a+a²-2a=a²-4a+1，
 綜上，g（a）=

a2-2a， a≤0 -2a， 0＜a＜1 a2-4a+1， a≥1

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)最值的求解，利用換元法結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．