Question

在數(shù)列{a_n}中，已知a₁=1，且a_n+1=

an

2+an

．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）猜想數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）試用數(shù)學(xué)歸納法證明（2）中猜想．

Answer 1

考點：數(shù)學(xué)歸納法,數(shù)列遞推式

專題：計算題,證明題,等差數(shù)列與等比數(shù)列,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）利用數(shù)列遞推式，代入計算可得結(jié)論；
（2）由a₁=

1

2-1

，a₂=

1

22-1

，a₃=

1

23-1

，a₄=

1

24-1

，即可猜想得到通項公式；
（3）利用（2）的猜想a_n的表達式，運用數(shù)學(xué)歸納法證明．注意兩個步驟缺一不可，特別必須運用假設(shè)證明n=k+1，也成立．

解答： 解：（1）∵a₁=1，a_n+1=

an

an+2

，
∴a₂=

a1

2+a1

=

1

3

，a₃=

a2

2+a2

=

1

7

，a₄=

a3

2+a3

=

1

15

．             
（2）由（1），a₁=

1

2-1

，a₂=

1

22-1

，a₃=

1

23-1

，a₄=

1

24-1

，
可以猜想a_n=

1

2n-1

．                                    
（3）用數(shù)學(xué)歸納法證明：
�。┊�(dāng)n=1時，a₁=

1

1

=1，所以當(dāng)n=1時猜想成立．             
ⅱ）假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N^*）時猜想成立，即a_k=

1

2k-1

，
當(dāng)n=k+1時，a_k+1=

ak

2+ak

=

1 2k-1

2+ 1 2k-1

=

1

2k+1-1

，
所以當(dāng)n=k+1時猜想也成立．
由�。┖廷ⅲ┛芍�，猜想對任意的n∈N^*都成立．                   
所以a_n=

1

2n-1

．

點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項，考查數(shù)學(xué)歸納法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．