11.已知數(shù)列${a_n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}$(n∈N*).
(1)證明:當n≥2,n∈N*時,${a_{2^n}}>\frac{n+2}{2}$;
(2)若a>1,對于任意n≥2,不等式${a_{2n}}-{a_n}>\frac{7}{12}[{log_{(a+1)}}x-{log_a}x+1]$恒成立,求x的取值范圍.

分析 (1)利用數(shù)學歸納法的證明步驟,證明求解即可.
(2)構造函數(shù)f(n)=a2n-an,判斷函數(shù)的單調性,轉化不等式為,對數(shù)不等式,通過函數(shù)的性質,轉化求解即可.

解答 (1)證:①當n=2時,左邊=${a_4}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{25}{12}$,
右邊=$\frac{4}{2}=2$,左邊>右邊,命題成立;
②假設n=k時命題成立,即:${a_{2^k}}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{2^k}>\frac{k+2}{2}$;
那么n=k+1時,${a_{{2^{k+1}}}}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{2^k}+\frac{1}{{{2^k}+1}}+\frac{1}{{{2^k}+2}}+…+\frac{1}{{{2^{k+1}}}}$$>\frac{k+2}{2}+\frac{1}{{{2^k}+1}}+\frac{1}{{{2^k}+2}}+…+\frac{1}{{{2^{k+1}}}}$$>\frac{k+2}{2}+\frac{1}{{{2^{k+1}}}}+\frac{1}{{{2^{k+1}}}}+…+\frac{1}{{{2^{k+1}}}}$=$\frac{k+2}{2}+\frac{1}{2}$
=$\frac{(k+1)+2}{2}$
∴n=k+1時命題成立,
∴對于n≥2,n∈N*命題都成立.
(2)令f(n)=a2n-an=$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+…+\frac{1}{2n}$,
∴f(n+1)-f(n)=$\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+…+\frac{1}{2n+2}$-($\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+…+\frac{1}{2n}$)
=$\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{n+1}$=$\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}$>0,即f(n)單調遞增,
∴a2n-an≥f(2)=$\frac{7}{12}$,
故問題轉化為:$\frac{7}{12}$>$\frac{7}{12}$(loga+1x-logax+1)恒成立,
可得loga+1x<logax,即:lgx(lg(a+1)-lga)>0,可得x>1.

點評 本題考查是數(shù)學歸納法的應用,數(shù)列的函數(shù)的性質的應用,考查轉化思想以及計算能力.

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