Question

【題目】如圖，兩座建筑物AB，CD的底部都在同一個(gè)水平面上，且均與水平面垂直，它們的高度分別是10m和20m，從建筑物AB的頂部A看建筑物CD的視角∠CAD＝60°．

（1）求BC的長(zhǎng)度；

（2）在線段BC上取一點(diǎn)P（點(diǎn)P與點(diǎn)B，C不重合），從點(diǎn)P看這兩座建筑物的視角分別為∠APB＝α，∠DPC＝β，問(wèn)點(diǎn)P在何處時(shí)，α+β最小？

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)BP為cm時(shí)，α+β取得最小值．

【解析】

（1）作AE⊥CD，垂足為E，則CE＝10，DE＝10，設(shè)BC＝x，根據(jù)得到，解得答案.

（2）設(shè)BP＝t，則，故，設(shè)，求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性，得到最值.

（1）作AE⊥CD，垂足為E，則CE＝10，DE＝10，設(shè)BC＝x，

則，

化簡(jiǎn)得，解之得，或（舍），

（2）設(shè)BP＝t，則，

，

設(shè)，，

令f'（t）＝0，因?yàn)?/span>，得，

當(dāng)時(shí)，f'（t）＜0，f（t）是減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，f'（t）＞0，f（t）是增函數(shù)，

所以，當(dāng)時(shí)，f（t）取得最小值，即tan（α+β）取得最小值，

因?yàn)?/span>恒成立，所以f（t）＜0，

所以tan（α+β）＜0，，

因?yàn)?/span>y＝tanx在上是增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，α+β取得最小值．