Question

【題目】已知二次函數(shù)，為偶函數(shù)，函數(shù)的圖象與直線相切．

（1）求的解析式；

（2）已知函數(shù)且，求的單調(diào)遞減區(qū)間和極值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）單調(diào)遞減區(qū)間為，極小值為，極大值為

【解析】

（1）欲求f（x）的解析式，先利用f（x）的解析式求得f（x+1）的解析式，結(jié)合f（x+1）為偶函數(shù)列出等式，再根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象與直線y＝x相切，將直線的方程代入二次函數(shù)的解析式，利用根的唯一性的條件列出另一個方程．從而求出a，b．問題解決．

（2）對函數(shù)進行求導，通過分析的正負及零點求得單調(diào)遞減區(qū)間和極值.

（1）∵為偶函數(shù)，∴，即

恒成立，即恒成立，

∴，∴，∴．

∵函數(shù)的圖象與直線相切，

∴二次方程有兩相等實數(shù)根，

∴，∴，．

（2）函數(shù)，

，

所以的單調(diào)遞減區(qū)間為

且的極小值為，極大值為