Question

若α、β是函數(shù)f（x）=lg²x-lgx²-2的兩個(gè)零點(diǎn)，則log_αβ+log_βα的值為

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)α、β是函數(shù)f（x）=lg²x-lgx²-2的兩個(gè)零點(diǎn)，代入函數(shù)解析式，兩式相減求得lgα+lgβ，移向兩式相乘，求得lg•lgβ，再利用換底公式把log_αβ+log_βα進(jìn)行化簡(jiǎn)，即可求得結(jié)果．

解答：解∵；α、β是函數(shù)f（x）=lg²x-lgx²-2的兩個(gè)零點(diǎn)，
∴l(xiāng)g²α-lgα²-2=0      ①
lg²β-lgβ²-2=0         ②
兩式相減（lgα+lgβ）（lgα-lgβ）-2（lgα-lgβ）=0
（lgα+lgβ-2）（lgα-lgβ）=0
∴l(xiāng)gα+lgβ-2=0
即lgα+lgβ=2，
由①②可得（lg•lgβ）²=4（lg•lgβ）+4（lg+lgβ）+4，
解得lg•lgβ=6（舍）或-2，
∴l(xiāng)og_αβ+log_βα=

lgβ

lgα

+

lgα

lgβ

=

lgβ2+lgα2

lgαlgβ

=

(lgβ +lgα)2

lgαlgβ

-2
=-4，
故答案為-4．

點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)中檔題．考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則和換底公式，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，在運(yùn)算過(guò)程中注意整體代換．