已知點F(1,0),動點P到直線x=-2的距離比到F的距離大1.
(1)求動點P所在的曲線C的方程;
(2)A,B為曲線C上兩動點,若|AF|+|BF|=4,求證:AB垂直平分線過定點,并求出該定點.
分析:(1)根據(jù)拋物線定義可知曲線C是以F為焦點、直線x=-1為準(zhǔn)線的拋物線,進(jìn)而可得拋物線的方程.
(2)設(shè)AB中點M(1,y0),先得出直線AB的斜率與其中點坐標(biāo)的關(guān)系,再由垂直得出其垂線的斜率,由點斜式得出中垂線方程,發(fā)現(xiàn)其為一過定點的直線,得出此坐標(biāo)即可.
解答:解:(1)由條件,P到F(1,0)的距離等于到直線x=-1的距離,
所以,曲線C是以F為焦點、直線x=-1為準(zhǔn)線的拋物線,其方程為y2=4x
(2)∵|AF|+|BF|=4,
∴x1+x2=2,
設(shè)AB中點M(1,y0),
kAB=
2
y0

所以中垂線方程為:y-y0=-
y0
2
(x-1)

它恒過點(3,0).
故AB垂直平分線過定點(3,0).
點評:本題主要考查拋物線的應(yīng)用及過定點的直線方程定點的求法,考查了綜合運用所學(xué)知識和運算的能力.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知點F(1,0),直線l:x=-1,P為平面上的動點,過點P作直線l的垂線,垂足為Q,且
QP
QF
=
FP
FQ

(1)求動點P的軌跡C的方程;
(2)已知點A(m,2)在曲線C上,過點A作曲線C的兩條弦AD,AE,且AD,AE的斜率k1、k2滿足k1•k2=2,試推斷:動直線DE是否過定點?證明你的結(jié)論.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知點F(1,0),直線L:x=-1,P為平面上的動點,過點P作直線L的垂線,垂足為Q,且
QP
QF
=
FP
FQ

(1)求點P的軌跡C的方程;
(2)是否存在正數(shù)m,對于過點M(m,0)且與曲線C有兩個交點A,B的任一直線,都有
FA
FB
<0
?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知點F(1,0),直線l:x=-1,P為平面上的動點,過P作直線l的垂線,垂足為點Q,若
QP
QF
=
FP
FQ

(1)求動點P的軌跡C的方程;
(2)過點M(-1,0)作直線m交軌跡C于A,B兩點.
(Ⅰ)記直線FA,F(xiàn)B的斜率分別為k1,k2,求k1+k2的值;
(Ⅱ)若線段AB上點R滿足
|MA|
|MB|
=
|RA|
|RB|
,求證:RF⊥MF.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知點F(1,0),直線l:x=-1,點P為平面上的動點,過點P作直線l的垂線,垂足為點Q,且
QP
FQ
=
PF
FQ
,則動點P的軌跡C的方程是
 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案