Question

設(shè)二次函數(shù)f（x）=x²+bx+c（b，c∈R），已知不論α，β為何實(shí)數(shù)恒有f（sinα）≥0，f（2+cosβ）≤0
（1）求證：b+c+1=0；
（2）求證：c≥3；
（3）若函數(shù)f（sinα）的最大值為8，求b，c值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)sinα∈[-1，1]，2+cosβ∈[1，3]，結(jié)合條件可得f（1）≥0，且f（1）≤0，即 f（1）=0恒成立，從而證得結(jié)論．
（2）根據(jù)f（3）≤0，以及b+c+1=0，證得c≥3．
（3）由題意可知：8=f（-1）=1-b+c①，再結(jié)合b+c=-1②，從而求得b，c值．

解答： 解：（1）∵sinα∈[-1，1]，2+cosβ∈[1，3]，又∵f（sinα）≥0，f（2+cosβ）≤0恒成立．∴f（1）≥0，且f（1）≤0，
即  f（1）=0恒成立．∴1+b+c=0．
（2）∵f（3）≤0，∴9+3b+c≤0，∴9+3（-1-c）+c≤0，∴c≥3．
（3）由題意可知：不論α，β為何實(shí)數(shù)恒有f（sinα）≥0，f（2+cosβ）≤0
且sinα∈[-1，1]，2+cosβ∈[1，3]，
故f（x）在[-1，1]上為減函數(shù)，∴8=f（-1）=1-b+c①，∵b+c=-1②，
由①，②可得 b=-4，c=3．

點(diǎn)評：本題主要考查正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．