已知a，b，c∈（0，+∞），滿足abc（a+b+c）=1，S=（a+c）（b+c），當(dāng)S取最小值時，c的最大值為
2
-1
2
-1
．
分析：由已知整理可得，c2+c(a+b)=
1
ab
，然后利用基本不等式可求S的最小值及滿足的條件：ab=1，然后由1=abc（a+b+c）=c（a+
1
a
+c）=c2+(a+
1
a
)c≥c2+2c，從而可得關(guān)于c的不等式，解不等式可求c的范圍
解答：解：∵a＞0，b＞0，c＞0，且abc（a+b+c）=1，
∴c2+c(a+b)=
1
ab

∴S=（a+c）（b+c）=ab+（a+b）c+c2=ab+
1
ab
≥2
ab•
1
ab
=2
當(dāng)且僅當(dāng)ab=
1
ab
即ab=1時取等號
∴Smin=2
此時1=abc（a+b+c）=c（a+
1
a
+c）=c2+(a+
1
a
)c≥c2+2c
∴c2+2c-1≤0
∵c＞0
∴0＜c≤
2
-1
∴c的最大值為
2
-1
故答案為：
2
-1
點評：本題主要考查了基本不等式在求解最值中的應(yīng)用，解答本題的技巧要注意體會掌握
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a，b，c∈（0，+∞），3a-2b+c=0，則
ac
b
的（　�。�
A、最大值是
3
B、最小值是
3
C、最大值是
3
3
D、最小值是
3
3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a＞b＞c＞0，若P=
b-c
a
，Q=
a-c
b
，則（　�。�
A、P≥QB、P≤Q
C、P＞QD、P＜Q

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（選做題）已知a，b，c∈（0，+∞），且
1
a
+
2
b
+
3
c
=2，求a+2b+3c的最小值及取得最小值時a，b，c的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2007•浦東新區(qū)一模）（1）A、B、C為斜三角形ABC的三個內(nèi)角，tgA+tgB+1=tgAtgB．求角C；
（2）命題：已知A，B，C∈（0，π），若tgA+tgB+tgC=tgAtgBtgC，則A+B+C=π．判斷該命題的真假并說明理由．
（說明：試卷中的“tgA”在試點教材中記為“tanA”）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（選修4-5：不等式選講）已知a＞b＞c＞0，求證：a+
3
3(a-b)(b-c)c
≥6（并指出等號成立的條件）

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