Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，

an-1

an

=

an-1+1

1-an

（n≥2，n∈N^*）
（1）求證：數(shù)列{

1

an

}是等差數(shù)列
（2）求數(shù)列{a_na_n+1}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由

an-1

an

=

an-1+1

1-an

，得a_n-1-a_n=2a_na_n-1，兩邊同時(shí)除以a_na_n-1得

1

an

-

1

an-1

=2（n≥2），則數(shù)列{

1

an

}是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列；
（2）數(shù)列{

1

an

}是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列求出其通項(xiàng)公式，得到an=

1

2n-1

，代入a_na_n+1后利用裂項(xiàng)相消法求得數(shù)列{a_na_n+1}的前n項(xiàng)和S_n．

解答： （1）證明：由

an-1

an

=

an-1+1

1-an

，得a_n-1-a_na_n-1=a_n+a_n-1a_n，
即a_n-1-a_n=2a_na_n-1，∴

1

an

-

1

an-1

=2（n≥2），
∴數(shù)列{

1

an

}是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列；
（2）解：∵數(shù)列{

1

an

}是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，
∴

1

an

=1+2(n-1)=2n-1，則an=

1

2n-1

，
∴a_na_n+1=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)．
∴Sn=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差關(guān)系的確定，考查了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，是中檔題．