Question

已知C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)橢圓具有性質(zhì)：若M，N是橢圓上關(guān)于原點O對稱的兩點，點P是橢圓上任意一點，當(dāng)直線PM，PN的斜率都存在，并記為k_PM，k_PN時，那么k_PM與k_PN之積是與點P的位置無關(guān)的定值，試寫出雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1具有類似特性的性質(zhì)并加以證明．

Answer 1

分析：設(shè)出M和N的坐標(biāo)，代入雙曲線的方程，設(shè)點P的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出PM，PN的斜率，求得兩斜率之積．把點P的坐標(biāo)代入雙曲線方程表示出y和n，代入PM，PN斜率之積得表達(dá)式求得結(jié)果為常數(shù)，故可推斷出k_PM•k_PN與點P的位置無關(guān)的定值．

解答：解：可以通過橫向類比得：若M，N是上述雙曲線上關(guān)于原點O對稱的兩點，
點P是雙曲線上任意一點，當(dāng)直線PM，PN的斜率都存在，并記為k_PM，k_PN時，
那么k_PM與k_PN之積是與點P的位置無關(guān)的定值．
下面給出嚴(yán)格的證明：
設(shè)點M（m，n），則N（-m，-n），其中

m2

a2

-

n2

b2

=1，又設(shè)點P的坐標(biāo)
為P（x，y），則kPM=

y-n

x-m

，kPN=

y+n

x+m

，kPM•kPN=

y2-n2

x2-m2

，
注意到

m2

a2

-

n2

b2

=1，點P（x，y）在雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1上，
故y2=b2(

x2

a2

-1)，n2=b2(

m2

a2

-1)，
代入kPM•kPN=

y2-n2

x2-m2

可得：kPM•kPN=

b2 a2 (x2-m2)

x2-m2

=

b2

a2

（常數(shù)），
即k_PM•k_PN與點P的位置無關(guān)的定值

點評：本題主要考查了橢圓的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力．