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1.設(shè)直線l的方程是x+my+23=0,圓O的方程是x2+y2=r2(r>0).
(1)當m取一切實數(shù)時,直線l與圓O都有公共點,求r的取值范圍;
(2)r=5時,求直線l被圓O截得的弦長的取值范圍;
(3)當r=1時,設(shè)圓O與x軸相交于P、Q兩點,M是圓O上異于P、Q的任意一點,直線PM交直線l′:x=3于點P′,直線QM交直線l′于點Q′.求證:以P′Q′為直徑的圓C總經(jīng)過定點,并求出定點坐標.

分析 (1)只需直線所過的定點在圓內(nèi),即可使得m取一切值時,直線與圓都有公共點;
(2)顯然定點與圓心的連線垂直于直線時,弦長最短,直線過圓心時,弦長為直徑最大.
(3)由已知我們易求出P,Q兩個點的坐標,設(shè)出M點的坐標,我們可以得到點P′與Q′的坐標(含參數(shù)),進而得到以P′Q′為直徑的圓的方程,根據(jù)圓的方程即可判斷結(jié)論.

解答 解:(1)直線l過定點(-23,0),當m取一切實數(shù)時,直線l與圓O都有公共點等價于點(-23,0)在圓O內(nèi)或在圓O上,
所以12+0≤r2,解得r≥23
所以r的取值范圍是[23,+∞);
(2)設(shè)坐標為(-23,0)的點為點A,則|OA|=23
則當直線l與OA垂直時,由垂徑定理得直線l被圓O截得的弦長為l=22512=213;
當直線過圓心時,弦長最大,即x軸被圓O截得的弦長為2r=10;                       
所以直線l被圓O截得的弦長的取值范圍是[213,10].
(3)證明:對于圓O的方程x2+y2=1,令x=±1,即P(-1,0),Q(1,0).
又直線l方程為x=3,設(shè)M(s,t),
則直線PM方程為y=ts+1(x+1).
令x=3,得P'(3,4ts+1),
同理可得:Q'(3,2ts1).
所以圓C的圓心C的坐標為(3,3stts21),半徑長為|st3ts21|,
又點M(s,t)在圓上,又s2+t2=1.故圓心C為(3,13st),半徑長|3st|.
所以圓C的方程為(x-3)2+(y-13st2=(3st2,
又s2+t2=1,
故圓C的方程為(x-3)2+y2-213syt-8=0,
令y=0,則(x-3)2=8,
所以圓C經(jīng)過定點,y=0,則x=3±22,
所以圓C經(jīng)過定點且定點坐標為(3±22,0).

點評 本題考查的知識是直線和圓的方程的應用,主要考查圓的方程的求法,同時考查圓恒過定點的求法,注意轉(zhuǎn)化為圓系方程是解答本題的關(guān)鍵.

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