【題目】已知函數(shù)，.

（1）若函數(shù)在處的切線與直線平行，求實(shí)數(shù)的值；

（2）試討論函數(shù)在區(qū)間上的最大值；

（3）若時(shí)，函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求證：.

【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

【解析】

（1）直線的斜率為，即函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為，由此列方程求得的值.（2）對函數(shù)求導(dǎo)后，對分成兩類，利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，并求出最大值.（3）當(dāng)時(shí)，將兩個(gè)零點(diǎn)代入函數(shù)的表達(dá)式，化簡得到，設(shè)化簡上式，求得的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)求得這個(gè)表達(dá)式的取值范圍，由此證得.

解：（1）由，，

由于函數(shù)在處的切線與直線平行，

，解得.

（2），由，得；由，得.

①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，

；

②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

.

（3）若時(shí)，恰有兩個(gè)零點(diǎn)，，

由，，

得，

，

設(shè)，，，故，

，

記函數(shù)-lnt，因，

在遞增，，，

又，，故成立.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】在△ABC中，a=7，b=8，cosB= –．

（Ⅰ）求∠A；

（Ⅱ）求AC邊上的高．

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【題目】（本小題滿分12分）在一個(gè)選拔項(xiàng)目中，每個(gè)選手都需要進(jìn)行4輪考核，每輪設(shè)有一個(gè)問題，能正確回答者進(jìn)入下一輪考核，否則被淘汰。已知某選手能正確回答第一、二、三、四輪問題的概率分別為、、、，且各輪問題能否正確回答互不影響。

（Ⅰ）求該選手進(jìn)入第三輪才被淘汰的概率；

（Ⅱ）求該選手至多進(jìn)入第三輪考核的概率；

（Ⅲ）該選手在選拔過程中回答過的問題個(gè)數(shù)記為，求隨機(jī)變量的分布列和期望。

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【題目】某港口有一個(gè)泊位，現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了某100艘輪船在該泊位停靠的時(shí)間（單位：小時(shí)），如果停靠時(shí)間不足半小時(shí)按半小時(shí)計(jì)時(shí)，超過半小時(shí)不足1小時(shí)按1小時(shí)計(jì)時(shí)，以此類推，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表：

（1）設(shè)該月100艘輪船在該泊位的平均�？繒r(shí)間為小時(shí)，求的值；

（2）假定某天只有甲、乙兩艘輪船需要在該泊位停靠小時(shí)，且在一晝夜的時(shí)間段中隨機(jī)到達(dá)，求這兩艘輪船至少有一艘在�？吭摬次粫r(shí)必須等待的概率.

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【題目】已知函數(shù)．

若函數(shù)在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求此時(shí)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在上的最大值和最小值的和為1，求實(shí)數(shù)a的值．

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【題目】已知函數(shù)且）.

(1)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；

(2)當(dāng)時(shí)，若不等式對于恒成立，求的最大值.

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【題目】（14分）已知a，b為常數(shù)，且a≠0，函數(shù)f（x）=﹣ax+b+axlnx，f（e）=2（e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)）．

（I）求實(shí)數(shù)b的值；

（II）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（III）當(dāng)a=1時(shí)，是否同時(shí)存在實(shí)數(shù)m和M（m＜M），使得對每一個(gè)t∈[m，M]，直線y=t與曲線y=f（x）（x∈[，e]）都有公共點(diǎn)？若存在，求出最小的實(shí)數(shù)m和最大的實(shí)數(shù)M；若不存在，說明理由．

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【題目】如圖，在長方中，，，E為的中點(diǎn)，以為折痕，把折起到的位置，且平面平面.

（1）求證:；

（2）在棱上是否存在一點(diǎn)P，使得平面，若存在，求出點(diǎn)P的位置，若不存在，請說明理由.

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