Question

【題目】已知函數(shù)．

若函數(shù)在內(nèi)有且只有一個零點(diǎn)，求此時函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

當(dāng)時，若函數(shù)在上的最大值和最小值的和為1，求實數(shù)a的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到極值點(diǎn)，當(dāng)時，當(dāng)時，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號，得到函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的極值結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)推出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時，函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，推出，.若，由可得的值；若，由可得，不符合題意舍去，通過若；若，轉(zhuǎn)化求解即得到實數(shù)的值．

，

由，得到，，

當(dāng)時，在區(qū)間上恒成立，

即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

又因為函數(shù)的圖象過點(diǎn)，即，

所以函數(shù)在內(nèi)沒有零點(diǎn)，不合題意，

當(dāng)時，由得，即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

由得，即函數(shù)在區(qū)間在上單調(diào)遞減，

且過點(diǎn)，要使函數(shù)在內(nèi)有且只有一個零點(diǎn)，則須，

即，解得，

綜上可得函數(shù)在內(nèi)有且只有一個零點(diǎn)時，

此時函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為

當(dāng)時，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

此時函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，極大值為，極小值為，

且，，，

若，即，也即時，此時，

又，

由可得，即，符合題意

若，即，也即時，

此時，，

由可得，即，不符合題意舍去，

又

，

若，即，也即時，此時，

由可得，即，不符合題意舍去

若，即，也即時，此時，

由可得，即，不符合題意舍去，

綜上所述可知所求實數(shù)a的值為