Question

【題目】已知函數(shù)，，（為自然對數(shù)的底數(shù)），且曲線與在坐標(biāo)原點處的切線相同.

（1）求的最小值；

（2）若時，恒成立，試求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）由于曲線與在坐標(biāo)原點處的切線相同，即它們在原點的導(dǎo)數(shù)相同，，，且切點為原點，，解得.所以，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以當(dāng)時，取得最小值為；（2）由（1）知，，即，從而，即.構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)并對分類討論的圖象與性質(zhì)，由此求得實數(shù)的取值范圍.

試題解析：

（1）因為，，

依題意，，且，解得，

所以，當(dāng)時，；當(dāng)時，.

故的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.

∴當(dāng)時，取得最小值為0.

（2）由（1）知，，即，從而，即.

設(shè)，

則，

（1）當(dāng)時，因為，∴（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）

此時在上單調(diào)遞增，從而，即.

（2）當(dāng)時，由于，所以，

又由（1）知，，所以，故，

即.（此步也可以直接證）

（3）當(dāng)時，令，則，

顯然在上單調(diào)遞增，又，，

所以在上存在唯一零點，

當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞減，

從而，即，所以在上單調(diào)遞減，

從而當(dāng)時，，即，不合題意.

綜上，實數(shù)的取值范圍為.