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設雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的右焦點為F,過點F作與x軸垂直的直線l交兩漸近線于A,B兩點,且與雙曲線在第一象限的交點為P,設O為坐標原點,若
OP
OA
OB
(λ,μ∈R),λ•μ=
3
16
,則雙曲線的離心率為(  )
A、
2
3
3
B、
3
5
5
C、
3
2
2
D、
9
8
考點:雙曲線的簡單性質
專題:平面向量及應用,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程
分析:由方程可得漸近線,可得A,B,P的坐標,由共線向量式可得λ+μ=1,λ-μ=
b
c
,解之可得λμ的值,由λ•μ=
3
16
可得a,c的關系,由離心率的定義可得.
解答: 解:雙曲線的漸近線為:y=±
b
a
x,設焦點F(c,0),則
A(c,
bc
a
),B(c,-
bc
a
),P(c,
b2
a
),
因為
OP
OA
OB
,
所以(c,
b2
a
)=((λ+μ)c,(λ-μ)
bc
a
),
所以λ+μ=1,λ-μ=
b
c
,
解得:λ=
c+b
2c
,μ=
c-b
2c
,
又由λμ=
3
16
,得:
c2-b2
4c2
=
3
16
,
解得:
a2
c2
=
3
4

所以,e=
c
a
=
2
3
3

故選:A.
點評:本題考查雙曲線的簡單性質,涉及雙曲線的離心率的求解,屬于中檔題.
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