Question

已知ADCB是正方形，BE∥AC，AC＝CE，EC的延長線交BA的延長線于F．試用向量方法證明：AF＝AE．

Answer 1

答案：
解析：

答案：證明：如圖，以CD邊所在直線為x軸，以C為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長為1，則A(－1，1)，B(0，1)．設(shè)E(x，y)，則＝(x，y－1)，＝(1，－1)． 　　∵∥，∴x·(－1)－1·(y－1)＝0， 　　∴x＋y－1＝0．① 　　又∵AC＝CE，＝(x，y)，∴＝， 　　∴x2＋y2＝＝2．② 　　由①、②可解：得E(，)． 　　設(shè)F(x1，1)，∴＝(x1，1)，＝(，)． 　　又∵、共線得－＝0，∴x1＝－(2＋)． 　　∴F(－2－，1)，∴＝(－1－，0)，∴｜｜＝＋1． 　　而＝(，)，∴｜｜＝＋1． 　　∴AF＝AE 　　分析：運(yùn)用向量知識(shí)，欲證AF＝AE，即證｜｜＝｜｜，為此，可建立平面直角坐標(biāo)系，求出E、F的坐標(biāo)．

提示：

在本題的證明中，恰當(dāng)?shù)亟�立坐�?biāo)系顯得非常重要．用向量的方法來解決某些平面幾何問題，不但思路清楚、目標(biāo)明確，而且完全可以把問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題來解決，顯示了這種方法的獨(dú)到之處．