Question

在△ABC中，D在BC邊上，滿足BD=2DC，cos∠BAD=

2 5

5

，cos∠CAD=

3 10

10

，AD=3，則AB=

 

．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：三角函數的求值

分析：如圖，作BE∥AC交AD延長線于E點，則△ACD∽△EBD，相似比為2，易得DE=2AD，故AE=9，在三角形ABE中，利用銳角三角函數定義求出cos∠BAE與cosE的值，進而求出sin∠BAE與sin∠E，利用兩角和與差的正弦函數公式化簡sin∠ABE=sin（∠BAE+∠E），求出sin∠ABE的值，再利用正弦定理即可求出AB的長．

解答： 解：如圖，作BE∥AC交AD延長線于E點，則△ACD∽△EBD，相似比為2，
易得DE=2AD，故AE=9，
在△ABE中，cos∠BAE=

2 5

5

，cos∠E=cos∠CAD=

3 10

10

，
則sin∠BAE=

5

5

，sin∠E=

10

10

，
∴sin∠ABE=sin（∠BAE+∠E）=sin∠BAEcos∠E+cos∠BAEsin∠E=

5

5

×

3 10

10

+

2 5

5

×

10

10

=

2

2

，
由正弦定理得：

AB

sin∠E

=

AE

sin∠ABE

，即AB=

AEsin∠E

sin∠ABE

=

9× 10 10

2 2

=

9 5

5

．
故答案為：

9 5

5

點評：此題考查了正弦、余弦定理，同角三角函數間的基本關系，熟練掌握定理是解本題的關鍵．