Question

已知平面上的動(dòng)點(diǎn)R（x，y）及兩定點(diǎn)A（-2，0），B（2，0），直線RA、RB斜率分別為k₁、k₂，且k₁•k₂=-

3

4

，設(shè)動(dòng)點(diǎn)R的軌跡為曲線C．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）四邊形MNPQ的四個(gè)頂點(diǎn)均在曲線C上，且MQ∥NP，MQ⊥x軸，若直線MN和直線QP交于點(diǎn)S（4，0），問：四邊形MNPQ兩條對(duì)角線的交點(diǎn)是否為定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由．交曲線C于點(diǎn)Q．求證：直線NQ過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：證明題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由斜率公式化簡可得曲線C的方程，
（Ⅱ）設(shè)出MP的方程，借助斜率公式，韋達(dá)定理等化簡證明．

解答： 解（Ⅰ）由題知x≠±2，且k1=

y

x+2

，k2=

y

x-2

，
則

y

x+2

•

y

x-2

=-

3

4

，
整理得，曲線C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1(y≠0)．
（Ⅱ）設(shè)MP與x軸交于D（t，0），則直線MP的方程為x=my+t（m≠0），
記M（x₁，y₁），P（x₂，y₂），由對(duì)稱性知Q（x₁，-y₁），N（x₂，-y₂），
由

3x2+4y2=12 x=my+t

消x得：（3m²+4）y²+6mty+3t²-12=0，
所以△=48（3m²+4-t²）＞0，且y1，2=

-6mt± △

2(3m2+4)

，
故

y1+y2=- 6mt 3m2+4 y1•y2= 3t2-12 3m2+4

由M、N、S三點(diǎn)共線知k_MS=k_NS，即

y1

x1-4

=

-y2

x2-4

，
所以y₁（my₂+t-4）+y₂（my₁+t-4）=0，整理得2my₁y₂+（t-4）（y₁+y₂）=0，
所以

2m(3t2-12)-6mt(t-4)

3m2+4

=0，即24m（t-1）=0，t=1，
所以直線MP過定點(diǎn)D（1，0），同理可得直線NQ也過定點(diǎn)D（1，0），
即四邊形MNPQ兩條對(duì)角線的交點(diǎn)是定點(diǎn)，且定點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了斜率公式的應(yīng)用及直線方程的設(shè)法及圓錐曲線的處理方法，屬于難題．