Question

已知雙曲線過(guò)點(diǎn)（3，-2）且與橢圓4x²+9y²=36有相同的焦點(diǎn)．
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若點(diǎn)M在雙曲線上，F(xiàn)₁、F₂為左、右焦點(diǎn)，且|MF₁|=2|MF₂|，試求△MF₁F₂的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）設(shè)雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，由已知得

9 a2 - 4 b2 =1 a2+b2=5

，由此能求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）由點(diǎn)M在雙曲線上，又|MF₁|=2|MF₂|，得|MF₁|-|MF₂|=2

3

，從而|MF₁|=4

3

，|MF₂|=2

3

，又|F₁F₂|=2

5

，由此能求出△MF₁F₂的面積．

解答： 解：（1）橢圓方程可化為

x2

9

+

y2

4

=1，
焦點(diǎn)在x軸上，且c=

9-4

=

5

，…（2分）
故設(shè)雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，…（3分）
則有

9 a2 - 4 b2 =1 a2+b2=5

，解得a²=3，b²=2，…（5分）
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

3

-

y2

2

=1．…（6分）
（2）因?yàn)辄c(diǎn)M在雙曲線上，又|MF₁|=2|MF₂|，
所以點(diǎn)M在雙曲線的右支上，
則有|MF₁|-|MF₂|=2

3

，…（8分）
故解得|MF₁|=4

3

，|MF₂|=2

3

，又|F₁F₂|=2

5

，…（9分）
因此在△MF₁F₂中，cos∠F1MF2=

|MF1|2+|MF2|2-|F1F2|2

2|MF1|•|MF2|

=

5

6

，…（10分）
所以sin∠MF₂F₁=

11

6

，…（11分）S△F1MF2=

1

2

×|MF1|•|MF2|×sin∠F1MF2=

1

2

×2

3

×4

3

×

11

6

=2

11

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線方程的求法，考查三角形面積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意曲線與方程思想的合理運(yùn)用．