Question

（2012•湖北）設(shè)函數(shù)f（x）=sin²ωx+2

3

sinωx•cosωx-cos²ωx+λ（x∈R）的圖象關(guān)于直線x=π對(duì)稱(chēng)，其中ω，λ為常數(shù)，且ω∈（

1

2

，1）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若y=f（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(

π

4

，0)，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）先利用二倍角公式和兩角差的余弦公式將函數(shù)f（x）化為y=Asin（ωx+φ）+k型函數(shù)，再利用函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性和ω的范圍，計(jì)算ω的值，最后利用周期計(jì)算公式得函數(shù)的最小正周期；
（2）先將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，求得λ的值，再利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求得函數(shù)f（x）的值域．

解答：解：f（x）=sin²ωx+2

3

sinωx•cosωx-cos²ωx+λ
=

3

sin2ωx-cos2ωx+λ
=2sin（2ωx-

π

6

）+λ
∵圖象關(guān)于直線x=π對(duì)稱(chēng)，∴2πω-

π

6

=

π

2

+kπ，k∈z
∴ω=

k

2

+

1

3

，又ω∈（

1

2

，1）
令k=1時(shí)，ω=

5

6

符合要求
∴函數(shù)f（x）的最小正周期為

2π

2× 5 6

=

6π

5

（2）∵f（

π

4

）=0
∴2sin（2×

5

6

×

π

4

-

π

6

）+λ=0
∴λ=-

2

∴f（x）=2sin（

5

3

x-

π

6

）-

2

故函數(shù)f（x）的取值范圍為[-2-

2

，2-

2

]

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了y=Asin（ωx+φ）+k型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，復(fù)合函數(shù)值域的求法，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題