如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，點E在線段PC上，PC⊥平面BDE．

(1) 證明：BD⊥平面PAC；
(2) 若PA＝1，AD＝2，求二面角B－PC－A的正切值．

(1)見解析；(2).

解析試題分析：(1)先利用直線與平面垂直的性質(zhì)定理，得到 和 ，因為 ，所以利用直線與平面垂直的判定定理可知， ；(2)首先分別以射線，，為軸，軸，軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，由直線與平面垂直的性質(zhì)定理得到，那么矩形為正方形，由此可知此正方形的邊的長度，根據(jù)坐標(biāo)系表示四棱錐出各個頂點的坐標(biāo)，分別求出平面和平面的法向量的坐標(biāo)，根據(jù)二面角與其法向量夾角的關(guān)系，求得二面角的余弦值，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得到所求二面角的正切值.
試題解析：(1)證明　∵，，∴．2分
同理由，可證得．
又，∴．                               4分
(2)如圖，分別以射線，，為軸，軸，軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系．

由(1)知，又， ∴．
故矩形為正方形，∴．     6分
∴．
∴．
設(shè)平面的一個法向量為，則，即，
∴，取，得．
∵，∴為平面的一個法向量．10分
所以．                  11分
設(shè)二面角的平面角為，由圖知，，所以．
∴ 所以，即二面角的正切值為．    12分
考點：1.直線與平面垂直的判定定理；2.直線與平面垂直的性質(zhì)定理；3.平面和平面所成的角(二面角)；4.勾股定理；5.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系；6.平面的法向量

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖所示，在多面體ABCD－A1B1C1D1中，上、下兩個底面A1B1C1D1和ABCD互相平行，且都是正方形，DD1⊥底面ABCD，AB∥A1B1，AB＝2A1B1＝2DD1＝2a.

(1)求異面直線AB1與DD1所成角的余弦值；
(2)已知F是AD的中點，求證：FB1⊥平面BCC1B1.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在矩形ABCD中，AB＝2AD＝2，O為CD的中點，沿AO將△AOD折起，使DB＝.

(1)求證：平面AOD⊥平面ABCO；
(2)求直線BC與平面ABD所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∠ABC＝60°，N是BC的中點，將梯形ABCD繞AB旋轉(zhuǎn)90°，得到梯形ABC′D′(如圖)．

(1)求證：AC⊥平面ABC′；
(2)求證：C′N∥平面ADD′；
(3)求二面角A-C′N-C的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD為矩形，ADEF為梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF＝AD＝2DE＝2．

(Ⅰ)求異面直線EF與BC所成角的大�。�
(Ⅱ)若二面角A－BF－D的平面角的余弦值為，求AB的長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，四棱錐中，是正三角形，四邊形是矩形，且平面平面，，．

(Ⅰ)若點是的中點，求證：平面；
（II）試問點在線段上什么位置時，二面角的余弦值為.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，邊長為2的正方形中，點是的中點，點是的中點，將△、△分別沿、折起，使、兩點重合于點，連接，．

（1）求證：；
（2）求二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，四棱錐P—ABCD中，為邊長為2的正三角形，底面ABCD為菱形，且平面PAB⊥平面ABCD，，E為PD點上一點，滿足

(1)證明：平面ACE平面ABCD；
(2)求直線PD與平面ACE所成角正弦值的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a，AD=2a，且PA⊥底面ABCD，PD與底面成30°角．
（1）若AE⊥PD，E為垂足，求證：BE⊥PD；
（2）求異面直線AE與CD所成角的余弦值．

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