Question

已知拋物線的方程為，直線的方程為，點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在拋物線上．

（1）求拋物線的方程；

（2）已知，點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）設(shè)點(diǎn)B、C是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是拋物線與軸正半軸交點(diǎn)，△BCD是以D為直角頂點(diǎn)的直角三角形．試探究直線BC是否經(jīng)過定點(diǎn)？若經(jīng)過，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不經(jīng)過，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：(1)設(shè)點(diǎn)A(3,-1)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為坐標(biāo)為(x,y),

則解得-

把點(diǎn)（1，3）代入，解得a = 4，

所以拋物線的方程為

（2）∵是拋物線的焦點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為（0，-1），

∴拋物線的準(zhǔn)線為，

過點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為A,由拋物線的定義知,

∴=,當(dāng)且僅當(dāng)P、M、A三點(diǎn)共線時(shí)“=”成立，

即當(dāng)點(diǎn)M為過點(diǎn)P所作的拋物線準(zhǔn)線的垂線與拋物線的交點(diǎn)時(shí)，取最小值，

∴，這時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為．

（3）BC所在的直線經(jīng)過定點(diǎn)，該定點(diǎn)坐標(biāo)為，

令，可得D點(diǎn)的坐標(biāo)為

設(shè)，顯然，

則-

∵，∴，即

直線BC的方程為

即-

所以直線BC經(jīng)過定點(diǎn).-