設函數(shù)f(x)=
1-x
ax
+lnx
在[1,+∞)上是增函數(shù).
(1)求正實數(shù)a的取值范圍;
(2)設b>0,a>1,求證:
1
a+b
<ln
a+b
b
a+b
b
分析:(1)求出f(x)的導函數(shù),因為函數(shù)在[1,+∞)上是增函數(shù),即導函數(shù)大于等于0對x屬于[1,+∞)恒成立,令導函數(shù)大于等于0列出不等式,解出a大于等于x的倒數(shù),求出x倒數(shù)的最大值即可得到實數(shù)a的范圍;
(2)設x等于
a+b
b
,由b大于0,a大于1,得出
a+b
b
大于1,根據函數(shù)在[1,+∞)上是增函數(shù),得到f(
a+b
b
)大于f(1),化簡可得ln
a+b
b
1
a+b
;設G(x)=x-lnx,且x大于1,求出G(x)的導函數(shù),根據x大于1得到導函數(shù)大于0,所以G(x)為增函數(shù),由x大于1,得到G(x)大于G(1)即x大于lnx,即可得到
a+b
b
>ln
a+b
b
,綜上,得證.
解答:解:(1)f(x)=
ax-1
ax2
≥0
對x∈[1,+∞)恒成立,
a≥
1
x
對x∈[1,+∞)恒成立,
1
x
≤1
,
∴a≥1為所求;
(2)取x=
a+b
b
,
a>1,b>0,∴
a+b
b
>1
,
一方面,由(1)知f(x)=
1-x
ax
+lnx
在[1,+∞)上是增函數(shù),
f(
a+b
b
)>f(1)=0

1-
a+b
b
a•
a+b
b
+ln
a+b
b
>0

ln
a+b
b
1
a+b

另一方面,設函數(shù)G(x)=x-lnx(x>1),
G(x)=1-
1
x
=
x-1
x
>0(∵x>1)

∴G(x)在(1,+∞)上是增函數(shù)且在x=x0處連續(xù),又G(1)=1>0,
∴當x>1時,G(x)>G(1)>0,
∴x>lnx即
a+b
b
>ln
a+b
b
,
綜上所述,
1
a+b
<ln
a+b
b
a+b
b
點評:此題考查學生會利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,靈活運用函數(shù)的單調性解決實際問題,是一道綜合題.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)f(x)=
-1,x>0
1,x<0
,則
(a+b)-(a-b)f(a-b)
2
(a≠b)的值是(  )
A、aB、b
C、a,b中較小的數(shù)D、a,b中較大的數(shù)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)f(x)=
1-x
1+x
的反函數(shù)為h(x),又函數(shù)g(x)與h(x+1)的圖象關于有線y=x對稱,則g(2)的值為( 。
A、-
4
3
B、-
1
3
C、-1
D、-2

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)f(x)=
 
1-x2
,(|x|≤1)
|x|,(|x|>1)
,若方程f(x)=a有且只有一個實根,則實數(shù)a滿足( 。
A、a<0B、0≤a<1
C、a=1D、a>1

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)f(x)=
1+x2
1-x2

①求它的定義域;
②求證:f(
1
x
)=-f(x)
;
③判斷它在(1,+∞)單調性,并證明.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•淮北一模)設函數(shù)f(x)=
1+x1-x
e-ax

(1)寫出定義域及f′(x)的解析式,
(2)設a>O,討論函數(shù)y=f(x)的單調性.

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