Question

設函數(shù)f(x)=

1-x

ax

+lnx在[1，+∞）上是增函數(shù)．
（1）求正實數(shù)a的取值范圍；
（2）設b＞0，a＞1，求證：

1

a+b

＜ln

a+b

b

＜

a+b

b

．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的導函數(shù)，因為函數(shù)在[1，+∞）上是增函數(shù)，即導函數(shù)大于等于0對x屬于[1，+∞）恒成立，令導函數(shù)大于等于0列出不等式，解出a大于等于x的倒數(shù)，求出x倒數(shù)的最大值即可得到實數(shù)a的范圍；
（2）設x等于

a+b

b

，由b大于0，a大于1，得出

a+b

b

大于1，根據函數(shù)在[1，+∞）上是增函數(shù)，得到f（

a+b

b

）大于f（1），化簡可得ln

a+b

b

＞

1

a+b

；設G（x）=x-lnx，且x大于1，求出G（x）的導函數(shù)，根據x大于1得到導函數(shù)大于0，所以G（x）為增函數(shù)，由x大于1，得到G（x）大于G（1）即x大于lnx，即可得到

a+b

b

＞ln

a+b

b

，綜上，得證．

解答：解：（1）f′(x)=

ax-1

ax2

≥0對x∈[1，+∞）恒成立，
∴a≥

1

x

對x∈[1，+∞）恒成立，
又

1

x

≤1，
∴a≥1為所求；
（2）取x=

a+b

b

，
∵a＞1，b＞0，∴

a+b

b

＞1，
一方面，由（1）知f(x)=

1-x

ax

+lnx在[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴f(

a+b

b

)＞f(1)=0
∴

1- a+b b

a• a+b b

+ln

a+b

b

＞0
即ln

a+b

b

＞

1

a+b

；
另一方面，設函數(shù)G（x）=x-lnx（x＞1），
G′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

＞0(∵x＞1)，
∴G（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)且在x=x₀處連續(xù)，又G（1）=1＞0，
∴當x＞1時，G（x）＞G（1）＞0，
∴x＞lnx即

a+b

b

＞ln

a+b

b

，
綜上所述，

1

a+b

＜ln

a+b

b

＜

a+b

b

．

點評：此題考查學生會利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，靈活運用函數(shù)的單調性解決實際問題，是一道綜合題．