Question

（本小題12分）如圖,四棱錐P-ABCD是底面邊長(zhǎng)為1的正方形，PD ⊥BC,PD=1,PC=.

   （Ⅰ）求證:PD⊥面ABCD；

   （Ⅱ）求二面角A－PB－D的大小.

 

Answer 1

【答案】

 

（1）略

（2）二面角A－PB－D的大小為60°.

【解析】（Ⅰ）證明:,

.……2分

又,……4分

∴  PD⊥面ABCD………6分

（Ⅱ）解:連結(jié)BD,設(shè)BD交AC于點(diǎn)O,

過(guò)O作OE⊥PB于點(diǎn)E,連結(jié)AE,

∵PD⊥面ABCD, ∴,

又∵AO⊥BD, ∴AO⊥面PDB.

∴AO⊥PB,

∵,

∴,從而,

故就是二面角A－PB－D的平面角.……………………8分

∵ PD⊥面ABCD,   ∴PD⊥BD,

∴在Rt△PDB中, ,

又∵,    ∴,………………10分

  ∴  .

故二面角A－PB－D的大小為60°. …………………12分

（也可用向量解）