Question

已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁=4，前n項(xiàng)和為S_n，S_n+1-3S_n-2n-4=0
（Ⅰ）求證：{a_n+1}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令b_n=

1

5

（a_n+1）+n（n∈N^*）求數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)的和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由S_n+1-3S_n-2n-4=0，得S_n-3S_n-1-2n-2=0，兩式相減，得a_n+1=3a_n+2，由此證明{a_n+1}是以5為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）由bn=3n-1+n(n∈N*)，利用分組求和法能求出數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)的和T_n．

解答： （Ⅰ）證明：n≥2時(shí)，由S_n+1-3S_n-2n-4=0，得S_n-3S_n-1-2n-2=0，
兩式相減，得a_n+1=3a_n+2，
∴a_n+1+1=3（a_n+1）（n≥2）成立，…3 分
又已知a₁=4，a₂=14，∴a₂+1=3（a₁+1）…（4分）
∴{a_n+1}是以5為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列．…（5分）
∴an=5×3n-1-1(n∈N*)．…（6分）
（Ⅱ）解：∵b_n=

1

5

（a_n+1）+n（n∈N^*），
∴bn=3n-1+n(n∈N*)，…（7分）
則Tn=(30+31+…+3n-1)+(1+2+…+n)…（8分）
∴T_n=

1

2

(3n-1)+

n(n+1)

2

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分組求和法的合理運(yùn)用．