【題目】在三棱拄中，側(cè)面，已知，，.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）試在棱(不包含端點)上確定一點的位置，使得；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下,求和平面所成角正弦值的大小.

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）

【解析】

試題（Ⅰ）欲證線面垂直，先考察線線垂直，易證，可試證，由題目給條件易想到利用勾股定理逆定理；（Ⅱ）要想在棱找到點，使得，易知，那么這時就需要使，這時就轉(zhuǎn)化為一個平面幾何問題：以矩形的邊為直徑作圓，與的公共點即為所求，易知只有一點即的中點 ，將以上分析寫成綜合法即可，找到這一點后，也可用別的方法證明，如勾股定理逆定理；（Ⅲ）求直線與平面所成的角，根據(jù)其定義，應(yīng)作出這條直線在平面中的射影，再求這條直線與其射影的夾角（三角函數(shù)值），本題可考慮點在平面的射影，易知平面與側(cè)面垂直，所以點在平面的射影必在兩平面的交線上，過做的垂線交于，則為所求的直線與平面的夾角.

試題解析：（Ⅰ）因為，，，所以，

，所以

因為側(cè)面，平面，所以，又，

所以，平面 4分

（Ⅱ）取的中點，連接 ，，，等邊中，

同理，， ，所以，可得，所以

因為側(cè)面，平面，所以，且，

所以平面，所以； 8分

（Ⅲ）側(cè)面，平面，得平面平面，

過做的垂線交于，平面

連接，則為所求，

因為 ，，所以 ，為的中點 得為的中點，

， 由（2）知 ，所以 13分

練習冊系列答案
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【題目】某次數(shù)學(xué)測驗共有12道選擇題，每道題共有四個選項，且其中只有一個選項是正確的，評分標準規(guī)定：每選對1道題得5分，不選或選錯得0分. 在這次數(shù)學(xué)測驗中，考生甲每道選擇題都按照規(guī)則作答，并能確定其中有9道題能選對；其余3道題無法確定正確選項，在這3道題中，恰有2道能排除兩個錯誤選項，另1題只能排除一個錯誤選項. 若考生甲做這3道題時，每道題都從不能排除的選項中隨機挑選一個選項作答，且各題作答互不影響.在本次測驗中，考生甲選擇題所得的分數(shù)記為

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（2）若偶函數(shù)，求

（3）在（2）的前提下，將函數(shù)的圖象向右平移個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?/span>4倍，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象，求在的單調(diào)遞減區(qū)間．

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（1）完成下列列聯(lián)表，問：能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認為200個參與調(diào)查者是否了解這一信息與性別有關(guān)？

了解

不了解

合計

男性

女性

合計

（2）該自媒體對200個樣本中了解這一信息的調(diào)查者按照性別分組，用分層抽樣的方法抽取6人，再從這6人中隨機抽取3人給予一等獎，另外3人給予二等獎，求一等獎與二等獎獲得者都有女性的概率.

附：

P(K2≥k)

0.01

0.005

0.001

k

6.635

7.879

10.828

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【題目】越野汽車輪胎的質(zhì)量是根據(jù)其正常使用的時間來衡量，使用時間越長，表明質(zhì)量越好，且使用時間大于或等于6千小時的為優(yōu)質(zhì)品.現(xiàn)用，兩種不同型號的汽車輪胎做試驗，各隨機抽取部分產(chǎn)品作為樣本，得到試驗結(jié)果的頻率分布直方圖如圖所示，以上述試驗結(jié)果中各組的頻率作為相應(yīng)的概率.

（1）現(xiàn)從大量的，兩種型號的輪胎中各隨機抽取2件產(chǎn)品，求其中至少有3件是優(yōu)質(zhì)品的概率；

（2）通過多年統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，型輪胎每件產(chǎn)品的利潤（單位：元）與其使用時間（單位：千小時）的關(guān)系如下表：

使用時間（單位：千小時）

每件產(chǎn)品的利潤（單位：元）

200

400

若從大量的型輪胎中隨機抽取兩件，其利潤之和記為（單位：元），求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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