Question

【題目】函數(shù)，其中，.

（1）若為定值，求的最大值；

（2）求證：對任意，有 ；

（3）若，，求證：對任意，直線與曲線有唯一公共點.

Answer 1

【答案】（1）（2）見證明；（3）見證明；

【解析】

（1）n看作常數(shù)，函數(shù)求導后令導數(shù)等于零，可得，可知函數(shù)在處有極大值，可得函數(shù)最大值（2）取得，利用放縮法得 ，再根據裂項相消法求和即可（3）要證明當，時，關于的方程有唯一解，令，即證明有唯一零點，再利用導數(shù)得函數(shù)單調性，極值確定函數(shù)大致圖象，證明只有唯一零點即可.

（1）為定值，故，令，得，當時，，當時，，所以函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，所以當時，函數(shù)有極大值 ，也是最大值，所以.

（2）由前一問可知，取得，于是

.

（3）要證明當，時，關于的方程有唯一解，令，即證明有唯一零點，先證明存在零點，再利用導數(shù)得函數(shù)單調性，極值確定函數(shù)只有唯一零點.

我們先證三個引理

【引理1】

（由第1問取即可）

【引理2】

（由【引理1】變形得到）

【引理3】

（可直接證明也可由【引理2推出】

證明：.

下面我們先證明函數(shù)存在零點，先由【引理2】得到：

.

令，可知.再由【引理3】得到，于是

.

令，且，可知.由連續(xù)性可知該函數(shù)一定存在零點.

下面我們開始證明函數(shù)最多只能有一個零點.我們有

.

令，則，則在遞增，在遞減，即.

當時，有恒成立，在上遞增，所以最多一個零點.

當時，令，，即，于是

.

再令，由【引理1】可以得到.

因此函數(shù)在遞增，遞減，遞增，時，有極大值但其極大值，所以最多只有一個零點.

綜上，當，時，函數(shù)與的圖像有唯一交點.