Question

已知函數(shù)f（x）=8lnx+

x2

2

-6x
（1）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間與極值．
（2）若y=f（x）-b有3個零點，求b的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,函數(shù)零點的判定定理

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）由f′（x）=

(x2-6x+8)

x

，得f（x）的單調增區(qū)間是（0，2），（4，+∞）；f（x）的單調減區(qū)間是（2，4）．所以f（x）的極大值為f（2）=8ln2-10，極小值為f（4）=16ln2-16．
（2）在區(qū)間（4，+∞）取f（16）=32ln2+32＞f（2）．在區(qū)間（0，2）取f（e^-2）=

e-4

2

-6e^-2-16＜f（4），從而b的取值范圍為：（16ln2-16，8ln2-10）．

解答： 解：（1）∵f′（x）=

(x2-6x+8)

x

，
當x∈（0，2），（4，+∞）時，f′（x）＞0；當x∈（2，4）時，f′（x）＜0，
∴f（x）的單調增區(qū)間是（0，2），（4，+∞）；f（x）的單調減區(qū)間是（2，4）．
當x變化時，f′（x），f（x）變化情況如下表：

x	（0，2）	2	（2，4）	4	（4，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	8ln2-10	遞減	16ln2-16	遞增

所以f（x）的極大值為f（2）=8ln2-10，極小值為f（4）=16ln2-16．
（2）在區(qū)間（4，+∞）取f（16）=32ln2+32＞f（2）．
在區(qū)間（0，2）取f（e^-2）=

e-4

2

-6e^-2-16＜f（4），
所以在f（x）的三個單調區(qū)間（0，2），（2，4），（4，+∞）直線y=b有y=f（x）的圖象各有一個交點，當且僅當f（4）＜b＜f（2），
因此，b的取值范圍為：（16ln2-16，8ln2-10）．

點評：本題考察了函數(shù)的單調性，導數(shù)的應用，函數(shù)的零點的判定，本題屬于中檔題．