Question

已知△ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC上的點(diǎn)，且滿足

AD

DB

=

CE

EA

=

1

2

．將△ADE沿DE折起到△₁ADE的位置，并使得平面A₁DE⊥平面BCED．
（Ⅰ）求證：A₁D⊥EC；
（Ⅱ）求三棱錐E-A₁CD的高．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的性質(zhì)

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）等邊△ABC的邊長(zhǎng)為3，且

AD

DB

=

CE

EA

=

1

2

，求得AD和AE的值．進(jìn)而由余弦定理得DE，根據(jù)AD²+DE²=AE²，判斷AD⊥DE折疊后A₁D⊥DE，根據(jù)平面A₁DE⊥平面BCED，又平面利用線面垂直的判定定理推斷出A₁D⊥平面BCED，進(jìn)而可知A₁D⊥EC．
（Ⅱ）求出S_△DEC，DC，利用等體積，即可求三棱錐E-A₁CD的高．

解答： （Ⅰ）證明：因?yàn)榈冗叀鰽BC的邊長(zhǎng)為3，且

AD

DB

=

CE

EA

=

1

2

，
所以AD=1，AE=2．在△ADE中，∠DAE=60°，
由余弦定理得DE=

3

．
因?yàn)锳D²+DE²=AE²，
所以AD⊥DE．
折疊后有A₁D⊥DE，
因?yàn)槠矫鍭₁DE⊥平面BCED，又平面A₁DE∩平面BCED=DE，
A₁D?平面A₁DE，A₁D⊥DE，所以A₁D⊥平面BCED
故A₁D⊥EC．…（6分）
（2）因?yàn)?span id="obdmdxy" class="MathJye">S△ABC=

9 3

4

，S△ADE=

1

2

×1×2sin60°=

3

2

，S△DBC=

1

2

×3×2sin60°=

3 3

2

所以S_△DEC=S_△ABC-S_△ADE-S_△DBC=

9 3

4

-

3

2

-

3 3

2

=

3

4

…（8分）
又DC²=BD²+BC²-2BD•BCcos60°=4+9-6=7，所以DC=

7

…（9分）
A₁D⊥平面BCED，設(shè)三棱錐E-A₁CD的高為h，則

1

3

•

3

4

•A₁D=

1

3

•

1

2

•

7

•A₁D•h，所以h=

21

14

所以三棱錐E-A₁CD的高為

21

14

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了線面垂直與平行的判定與性質(zhì)定理及三棱錐E-A₁CD的高，考查了推理能力，屬于中檔題．