Question

已知直線(xiàn)l₁的方向向量為

a

=（1，3），且過(guò)點(diǎn)A（-2，3），將直線(xiàn)x-2y-1=0繞著它與x軸的交點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)一個(gè)銳角α（tanα=

1

3

）得到直線(xiàn)l₂，直線(xiàn)l₃：kx-y-2k+3=0．（k∈R）．
（1）求直線(xiàn)l₁和直線(xiàn)l₂的方程；
（2）當(dāng)直線(xiàn)l₁，l₂，l₃所圍成的三角形的面積為3時(shí)，求直線(xiàn)l₃的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)的一般式方程,直線(xiàn)的截距式方程

專(zhuān)題：直線(xiàn)與圓

分析：（1）由已知條件利用點(diǎn)斜率式方程能求出直線(xiàn)l₁的方程；設(shè)直線(xiàn)x-2y-1=0的傾斜角為β，則l₂的斜率k=tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

1 2 + 1 3

1- 1 2 • 1 3

=1，由此能求出l₂的方程．
（2）直線(xiàn)l₃：kx-y-2k+3=0，過(guò)定點(diǎn)A（2，3），由

3x-y+9=0 x-y-1=0

，得直線(xiàn)l₁，l₂的交點(diǎn)C（-5，-6），點(diǎn)A到l₂的距離為d=

|2-3-1||

2

=

2

．由

x-y-1=0 kx-y-2k+3=0

，得直線(xiàn)l₃，l₂的交點(diǎn)B（

2k-5

k-1

，

k-4

k-1

），由直線(xiàn)l₁，l₂，l₃所圍成的三角形的面積為3，得|BC|=3

2

，由此能求出l₃的方程．

解答： 解：（1）∵直線(xiàn)l₁的方向向量為

a

=（1，3），且過(guò)點(diǎn)A（-2，3），
∴直線(xiàn)l₁：y-3=3（x+2），整理，得3x-y+9=0．（2分）
將直線(xiàn)x-2y-1=0繞著它與x軸的交點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)一個(gè)銳角α（tanα=

1

3

）得到直線(xiàn)l₂，
設(shè)直線(xiàn)x-2y-1=0的傾斜角為β，B（1，0），
則l₂的斜率k=tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

1 2 + 1 3

1- 1 2 • 1 3

=1，
∴l(xiāng)₂的方程為：y=x-1，整理得x-y-1=0．（5分）
（2）∵直線(xiàn)l₃：kx-y-2k+3=0，即（x-2）k+（3-y）=0，
∴l(xiāng)₃過(guò)定點(diǎn)A（2，3），（7分）
由

3x-y+9=0 x-y-1=0

，得直線(xiàn)l₁，l₂的交點(diǎn)C（-5，-6），（9分）
點(diǎn)A到l₂的距離為d=

|2-3-1||

2

=

2

．（10分）
由

x-y-1=0 kx-y-2k+3=0

，得直線(xiàn)l₃，l₂的交點(diǎn)B（

2k-5

k-1

，

k-4

k-1

），
∵直線(xiàn)l₁，l₂，l₃所圍成的三角形的面積為3，
∴

1

2

×

2

×|BC|=3，解得|BC|=3

2

，
∴|BC|=3

2

=

( 2k-5 k-1 +5)2+( k-4 k-1 +6)2

解得k=

7

4

或k=

13

10

，
∴l(xiāng)₃的方程：7x-4y-2=0，（12分）
或13x-10y+4=0．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式的合理運(yùn)用．