Question

數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列且a₂=4，a₄=5，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且2S_n=3b_n-3（n∈N^*）
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_nb_n}的前n項(xiàng)和為T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式由已知條件求出首項(xiàng)和公差，由此能求出a_n=

n

2

+3．由2S_n=3b_n-3，推導(dǎo)出{b_n}是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，由此求出b_n=3ⁿ．
（Ⅱ）由a_nb_n=（

n

2

+3）•3ⁿ=

6+n

2

•3n，利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{a_nb_n}的前n項(xiàng)和．

解答： 解：（Ⅰ）∵數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列且a₂=4，a₄=5，
∴

a1+d=4 a1+3d=5

，解得a1=

7

2

，d=

1

2

，
∴a_n=

7

2

+（n-1）×

1

2

=

n

2

+3．
∵2S_n=3b_n-3，①
∴2S_n-1=3b_n-1-3，n≥2，②
①-②，得2b_n=3b_n-3b_n-1，
∴

bn

bn-1

=3，
又2b₁=3b₁-3，解得b₁=3，
∴{b_n}是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，
∴b_n=3ⁿ．
（Ⅱ）∵a_nb_n=（

n

2

+3）•3ⁿ=

6+n

2

•3n，
∴T_n=

7

2

•3+

8

2

•32+…+

6+n

2

•3n，①
3T_n=

7

2

•32+

8

2

•33+…+

6+n

2

•3n+1，②
①-②，-2T_n=

7

2

•3+

1

2

（3²+3³+…+3ⁿ）-

6+n

2

•3n+1
=

21

2

+

1

2

•

9(1-3n-1)

1-3

-

6+n

2

•3n+1
=

21

2

+

1

4

•3n+1-

9

4

-

6+n

2

•3n+1，
∴T_n=

6+n

4

•3n+1-

33

4

-

1

8

•3n+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．