Question

已知函數(shù)f（x）對任意x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，且當x＞0時，f（x）＞1，若關(guān)于x的不等式f（x²-ax+b）＜1的解集為{x|-3＜x＜2}，則a+b=

 

．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：令x=y=0，得到f（0）=1，令y=-x，得到f（-x）=2-f（x），令x₁＜x₂，根據(jù)條件x＞0時，f（x）＞1，以及前面的結(jié)論，得到f（x₂）＞f（x₁），則f（x）在R上為增函數(shù)．將不等式f（x²-ax+b）＜1的解集為{x|-3＜x＜2}，轉(zhuǎn)化為方程x²-ax+b=0的兩根為-3，2，由韋達定理，即可求出a，b．從而得到a-b．

解答： 解：令x=y=0，則f（0）=2f（0）-1，即f（0）=1，
令y=-x，則f（0）=f（x）+f（-x）-1，即f（-x）=2-f（x），
令x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，則f（x₂-x₁）＞1，
由f（x+y）=f（x）+f（y）-1，得f（x₂）+f（-x₁）-1＞1，
即f（x₂）+2-f（x₁）-1＞1，
即f（x₂）＞f（x₁），∴f（x）在R上為增函數(shù)．
∴f（x²-ax+b）＜1即f（x²-ax+b）＜f（0），即x²-ax+b＜0，
又f（x²-ax+b）＜1的解集為{x|-3＜x＜2}，
∴-3，2為方程x²-ax+b=0的兩根，
即有a=-3+2=-1，b=-3×2=-6，a+b=-7．
故答案為：-7．

點評：本題考查函數(shù)的性質(zhì)：單調(diào)性和運用，考查解決抽象函數(shù)的常用方法：賦值法，同時考查方程與不等式的轉(zhuǎn)化，是一道綜合題．