Question

【題目】已知函數(shù)g（x）=ax2-2ax+1+b（a>0）在區(qū)間[2，4]上的最大值為9，最小值為1，記f（x）=g（|x|）。

（1）求實數(shù)a，b的值；

（2）若不等式f（2k）>1成立，求實數(shù)k的取值范圍；

（3）定義在[p，q]上的函數(shù)（x），設p=x0<x1<…<xi-1<xi<…<xn=q，x1，x2，…，xn-l將區(qū)間[p，q]任意劃分成n個小區(qū)間，如果存在一個常數(shù)M>0，使得和式恒成立，則稱函數(shù)（x）為在[p，q]上的有界變差函數(shù)。試判斷函數(shù)f（x）是否為在[0，4]上的有界變差函數(shù)?若是，求M的最小值；若不是，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）10

【解析】試題分析：（1）由已知中在區(qū)間的最大值為9，最小值為1，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及最值，我們易構(gòu)造出關于，的方程組，解得，的值；（2）由（1）參數(shù)，的值，代入可得函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可將問題轉(zhuǎn)化為或，解出不等式得到的取值范圍；（3）根據(jù)有界變差函數(shù)的定義，我們先將區(qū)間進行劃分，分成，兩個區(qū)間進行分別判斷，進而判斷是否恒成立，從而求出結(jié)論.

試題解析：（1），因為，所以在區(qū)間上是增函數(shù)，故解得

（2）由已知可得為偶函數(shù)，所以不等式可化為或，解得，即實數(shù)的取值范圍是.

（3）函數(shù)為上的有界變差函數(shù)。

因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

且對任意劃分，

不妨設，

所以有，，

所以

；

當時， ；

當時， ，

綜上，存在常數(shù)使得恒成立，所以的最小值為10。