Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓M過坐標(biāo)原點(diǎn)O且圓心在曲線 上．
（1）若圓M分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B（不同于原點(diǎn)O），求證：△AOB的面積為定值；
（2）設(shè)直線 與圓M 交于不同的兩點(diǎn)C，D，且|OC|=|OD|，求圓M的方程；
（3）設(shè)直線 與（Ⅱ）中所求圓M交于點(diǎn)E、F，P為直線x=5上的動(dòng)點(diǎn)，直線PE，PF與圓M的另一個(gè)交點(diǎn)分別為G，H，求證：直線GH過定點(diǎn)．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可設(shè)圓M的方程為 ，

即 ．

令x=0，得 ；令y=0，得x=2t．

∴ （定值）

（2）解：由|OC|=|OD|，知OM⊥l．

所以 ，解得t=±1．

當(dāng)t=1時(shí)，圓心M 到直線 的距離 小于半徑，符合題意；

當(dāng)t=﹣1時(shí)，圓心M 到直線 的距離 大于半徑，不符合題意．

所以，所求圓M的方程為

（3）解：設(shè)P（5，y0），G（x1，y1），H（x2，y2），又知 ， ，

所以 ， ．

因?yàn)?kPE=kPF，所以 ．

將 ， 代入上式，

整理得2x1x2﹣7（x1+x2）+20=0．①

設(shè)直線GH的方程為y=kx+b，代入 ，

整理得 ．

所以 ， ．

代入①式，并整理得 ，

即 ，

解得 或 ．

當(dāng) 時(shí)，直線GH的方程為 ，過定點(diǎn) ；

當(dāng) 時(shí)，直線GH的方程為 ，過定點(diǎn)

檢驗(yàn)定點(diǎn) 和E，F(xiàn)共線，不合題意，舍去．

故GH過定點(diǎn)

【解析】（1）由題意可設(shè)圓M的方程為 ，求出圓M分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，利用面積公式，可得：△AOB的面積為定值；（2）由|OC|=|OD|，知OM⊥l，解得t=±1，再驗(yàn)證，即可求圓M的方程；（3）設(shè)P（5，y0），G（x1 ， y1），H（x2 ， y2），整理得2x1x2﹣7（x1+x2）+20=0．①設(shè)直線GH的方程為y=kx+b，代入 ，利用韋達(dá)定理，確定直線方程，即可得出結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識(shí)，掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程：；圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程．