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已知函數f(x)=lnx-ax2+(a-2)x.
(I)討論函數f(x)的單調性;
(II)若f(x)在點(1,f(1))處的切線斜率為-2.
(i)求f(x)的解析式;
(ii)求證:當
【答案】分析:由題意可得,f(x)定義域為(0,+∞)
(I)對函數求導可得,,要討論函數的單調性,只要討論a的范圍判斷f′(x)的符號
(II)(i)由(I)知f′(x)=-(a+1)=-2可求a,從而可求f(x)
(ii)由于=,令對函數g(x)求導可得g(x)在(0,1)單調遞增,,g(x)在(1,+∞)單調遞增,g(x)>g(1)=0,可證
解答:解:由題意可得,f(x)定義域為(0,+∞)
(I)對函數求導可得,
①a≥0時,ax+1>0,x>0
由f′(x)>0可得,,由f′(x)<0可得
∴f(x)在(0,)單調遞增,在(,+∞)單調遞減
②a<0時,令f′(x)=0可得x1=
(i)當-2<a<0時
由f′(x)<0可得,由f′(x)>0可得
故f(x)在單調遞減,在(0,),單調遞增
(ii)當a<-2時,同理可得f(x)在(-)單調遞減,在(0,-),單調遞增
(iii)當a=-2時,
∴f(x)在(0,+∞)增…..(6分)
(II)(i)解:由(I)知)知f′(x)=-(a+1)=-2
∴a=1
∴f(x)=lnx-x2-x….(8分)
(ii)證明:
=

故當x∈(0,1)時,g′(x)>0,g(x)在(0,1)單調遞增,
∴g(x)<g(1)=0,又

當x∈(1,+∞)時,g′(x)>0,g(x)在(1,+∞)單調遞增,g(x)>g(1)=0
,

綜上所述,x>0且x≠0時,…(14分)
點評:本題主要考查了利用函數的導數判斷函數的單調性,導數的幾何意義在切線的求解中的應用,及利用導數證明不等式中的應用,屬于中檔試題
練習冊系列答案
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x1+x2
2
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1
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3
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x
,a≠0且a≠1.
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(2)已知當x>0時,函數在(0,
6
)上單調遞減,在(
6
,+∞)上單調遞增,求a的值并寫出函數的解析式;
(3)記(2)中的函數圖象為曲線C,試問是否存在經過原點的直線l,使得l為曲線C的對稱軸?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由.

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