Question

已知函數(shù)f（x²-3）=log_a

x2

6-x2

（a＞1且a≠1）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式及其定義域；
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)奇偶性的判斷

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)t=x²-3，求出f（t）的解析式即得f（x）的解析式，再根據(jù)對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，求出f（x）的定義域；
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，判斷f（x）的奇偶性即可．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x²-3）=log_a

x2

6-x2

=log_a

x2-3+3

3+3-x2

，
設(shè)t=x²-3，則f（t）=log_a

t+3

3-t

，
即f（x）=log_a

3+x

3-x

；
令

3+x

3-x

＞0，
解得-3＜x＜3，
∴函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?3，3）；
（2）∵f（x）=log_a

3+x

3-x

，x∈（-3，3）；
∴任取x∈（-3，3），則
f（-x）=log_a

3-x

3+x

=-log_a

3+x

3-x

=-f（x），
∴函數(shù)f（x）是定義域（-3，3）上的奇函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了求函數(shù)的解析式和定義域的問(wèn)題，也考查了函數(shù)的奇偶性的判斷問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．